de Moivreの定理

$ \forall n\in \Bbb{Z}\forall\theta\in\Bbb{R};(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

euler formに直すと$ \forall n\in \Bbb{Z}\forall\theta\in\Bbb{R};\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}になる

実数乗に対しては成立しない

$ \because {\exp(i\theta)}^n =\exp\ln{\exp(i\theta)}^n

$ =\exp(n\ln\exp(i\theta))

この展開をしている段階ですでにおかしい

$ \ln a^b=b\ln aが$ a\in\Bbb{C}のときにも成立するかどうかを証明していない

$ \exp:\Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}_+は全単射なので逆函数$ \ln:\Bbb{R}_+\rightarrow\Bbb{R}を定義できたが、$ \exp:\Bbb{C}\rightarrow\Bbb{C}は全単射じゃないので逆関数$ \lnを定義できない

というか、複素指数函数の指数法則は指数関数からは求められないのか

円函数の加法定理から求める必要がある

まあ同値だから、複素指数関数の指数法則から逆に円函数の加法定理を導出してもいい

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